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Logic and Philosophy of Science in Nancy (I)

The Form and Function of Duality in Modern Mathematics

Ralf Krömer et David Corfield
p. 95-109

Résumés

Des phénomènes compris sous le terme de dualité se produisent tout au long de l'histoire des mathématiques dans toutes ses branches, de la dualité des polyèdres à la dualité de Langlands. En considérant une « épistémologie interne » de la dualité, nous essayons de comprendre les avantages trouvés par les mathématiciens dans l'exploitation de situations duales. Nous abordons ces questions au moyen d'une compréhension inspirée de la théorie des catégories. Suivant Mac Lane et Lawvere-Rosebrugh, nous distinguons entre dualités « axiomatiques » ou « formelles » (ou de type Gergonne) d'une part et « fonctionnelles » ou « concrètes » (ou de type Poncelet) de l'autre. Alors que les premières sont souvent utilisées dans le cadre d'une stratégie deux théorèmes par une preuve, les secondes permettent souvent d'étudier des « espaces » par des fonctions définies sur eux, ce qui, dans la terminologie de Grothendieck, revient à prouver un théorème en travaillant dans un cadre dualement équivalent où la preuve correspondante est plus facile à obtenir. Nous essayons de montrer par quelques exemples que dans le premier cas, les objets duaux ont tendance à être plus idéaux (épistémologiquement plus éloignés) que ceux d'origine, tandis qu'il n'en va pas nécessairement de même dans le second cas.

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Plan

1 Introduction
2 Two kinds of duality
3 From the dual vector space to category-theoretic dualities
4 Mac Lane and “functional” vs.“axiomatic” duality
5 Buchsbaum, Grothendieck, and duality in homological algebra
6 Grothendieck, spaces and functions, and the epistemic gain
7 Conclusions

Aperçu du début du texte

1 Introduction

Phenomena covered by the term duality have long fascinated mathematicians, from the duality of polyhedra and the logical duality captured by de Morgan’s Laws to projective duality and the duality of Fourier transforms. This fascination has only increased with the passage of time right up to the current intense investigation of Langlands duality. A broader perspective orients us towards general dualities between algebra and geometry, and between syntax and semantics, and teaches us much about the content of mathematics. Yet, it seems that the role of the concept of duality in modern mathematics has been the subject of very few philosophical studies.

One such study by Ernest Nagel concerns projective duality [Nagel 1939]. In Euclidean geometry, two points determine a line, and two non-parallel lines determine a point. By adding points at infinity as the intersection of two parallel lines, we can omit the word “non-parallel” in the last sentence, and thereby achieve dualit...

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Pour citer cet article

Référence électronique

Ralf Krömer et David Corfield, « The Form and Function of Duality in Modern Mathematics », Philosophia Scientiæ [En ligne], 18-3 | 2014, mis en ligne le 28 novembre 2014, consulté le 26 juin 2017. URL : http://philosophiascientiae.revues.org/976 ; DOI : 10.4000/philosophiascientiae.976

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Auteurs

Ralf Krömer

Bergische Universität Wuppertal (Germany)

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David Corfield

University of Kent (UK)

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Droits d’auteur

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