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D’un point de vue rigoureux et parfaitement général : pratique des mathématiques rigoureuses chez Richard Dedekind

Emmylou Haffner
p. 131-156

Résumés

Dans cet article, je considère la pratique et la conception de la ri­gueur chez Richard Dedekind qui se dégagent de l’étude d’une sélection de ses travaux les plus importants. Une analyse des mentions multiples de réquisits de rigueur dans les textes de Dedekind amène à constater qu’il lie très étroi­tement la rigueur à la généralité. La première partie de l’article donne à voir les liens serrés tissés par Dedekind entre généralité et rigueur, dans sa théorie des fonctions algébriques co-écrite avec H. Weber, ainsi que dans ses travaux fondationnels et dans ses travaux de théorie des nombres. Dans la seconde partie, j’examine les critères de rigueur qui apparaissent dans la pratique ma­thématique de Dedekind. Je discute l’idéal logique de rigueur dans l’essai de Dedekind sur les entiers naturels, étudié par M. Detlefsen sous l’appellation « Dedekind’s principle » ; puis je m’intéresse à la stratégie de Dedekind pour arithmétiser les mathématiques afin de mettre en évidence qu’il ne s’agit pas d’une approche guidée par un principe purement logique. Ainsi, l’idéal logique de rigueur apparaît comme intimement lié à la pratique d’une autre norme épistémique : la généralité, en lien avec la quête, par Dedekind, de définitions et preuves générales. Dans la dernière partie, j’analyse la demande de généra­lité et la pluralité de conceptions de la généralité que recouvre cette demande, et termine en mettant en avant la relation des définitions aux preuves et de quelle manière une définition générale se pose en condition de rigueur dans les mathématiques dedekindiennes.

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Plan

1 Introduction
2 Généralité et rigueur
2.1 Théorie des fonctions algébriques
2.2 Travaux fondationnels
2.3 Idéaux et théorie des entiers algébriques
3 Vers une élucidation de la conception dedekindienne de la rigueur
3.1 « Dedekind’s principle » et définition
3.2 Treppen-Verstand
4 Généralité(s) et pratique de la rigueur
4.1 Une généralité à plusieurs visages ?
4.1.1 Généralité des opérations de la pensée
4.1.2 Généralité de l’arithmétique
4.1.3 Généralité comme uniformité
4.2 La généralité, une condition pour un développement rigoureux ?
4.3 Conclusion

Aperçu du début du texte

1 Introduction

Lorsque Félix Klein décrit, en 1895, le mouvement d’arithmétisation de l’ana­lyse qui a parcouru les mathématiques de Kronecker à Peano, via Weierstrass, c’est un mouvement de rigorisation radicale qu’il dépeint. Une peinture dont il ne souhaite pas tracer les détails, et dont il retient la « rigueur weierstras-sienne » (Weierstrass’sche Strenge), le réductionnisme de Kronecker, l’insis­tance des tenants de l’arithmétisation sur la nécessité de la logique sous-jacente à l’arithmétique pour s’assurer de la clarté et de la rigueur des mathématiques. Bref, c’est la rigidité logique que Klein choisit de retenir de l’arithmétisation :

Comme essence même de la question, ce n’est pas la forme arith­métique de la marche des idées que j’envisage, mais plutôt la ri­gidité logique obtenue à l’aide de cette forme. [Klein 1895, trad. Vassilieff et Laugel 1897, légèrement modifiée, 117]

On sait bien pourtant que si l’on interroge les motivations des grands acteurs de l’arithmétisation...

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Pour citer cet article

Référence électronique

Emmylou Haffner, « D’un point de vue rigoureux et parfaitement général : pratique des mathématiques rigoureuses chez Richard Dedekind », Philosophia Scientiæ [En ligne], 18-1 | 2014, mis en ligne le 15 mars 2017, consulté le 24 juillet 2017. URL : http://philosophiascientiae.revues.org/919 ; DOI : 10.4000/philosophiascientiae.919

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Auteur

Emmylou Haffner

Université Paris Diderot, Sorbonne Paris Cité, SPHere, UMR 7219 (France)

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Droits d’auteur

Tous droits réservés

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