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The Transition from Formula-Centered to Concept-Centered Analysis Bolzano's Purely Analytic Proof

as a Case Study
Iris Loeb et Stefan Roski
p. 113-129

Résumés

Deux transitions ont eu lieu aux xviiie et xixe siècles dans le déve­loppement de l'analyse mathématique : de l'approche géométrique à l'approche axée sur des formules d'une part ; de l'approche axée sur les formules à l'ap­proche conceptuelle d'autre part. En nous appuyant sur la Preuve purement analytique de Bolzano, nous montrons qu'il adopte une approche que l'on peut qualifier de conceptuelle. Nous parvenons à la conclusion selon laquelle Bolzano n'adopte pas la même attitude selon qu'il se rapporte à l'approche géométrique d'une part, à l'approche axée sur des formules d'autre part ; dans le premier cas, il est question de rejet, dans le second cas de non-participation. Bolzano appuie sa méthodologie conceptuelle sur des opinions philosophiques partagées en partie par certains mathématiciens partisans d'une approche de l'analyse axée sur les formules.

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Plan

1 Introduction
2 Philosophical background
3 Purely analytic proof
4 Rejections of other proofs
4.1 Proof depending on a geometrical truth
4.2 Proof using concepts of time and motion
4.3 Proof depending on decomposition into factors
5 Conclusion

Aperçu du début du texte

1 Introduction

Bernard Bolzano's (1781-1848) treatise “Rein analytischer Beweis” ([Bolzano 1817]; henceforth [RAB]) has been the subject of many studies. Typically these studies discuss the relation between [RAB] and Cauchy's work—did Cauchy plagiarise Bolzano, or not [Grattan-Guiness 1970b], [Freudenthal 1971], [Benis Sinaceur 1973], [Grabiner 1984], [Bottazzini 1986, 97-98]?—focus on the mathematical content of [RAB] (see [Grattan-Guiness 1970a, 51-57, 71-75]; [Bottazzini 1986, 99-101]; [Rusnock 2000, 73-84]) and point out Bolzano's advanced standards of rigor of proofs (see [Bottazzini 1986, 98]) and their un­derlying philosophical ideas (see [Rusnock 2000, 69-73]). It is usually empha­sized that Bolzano was a precursor of later developments in mathematics and that his work thus did not fit into the common mathematical practice of his time. Bottazzini writes, for example, that

[t]he arguments that Bolzano brought to his demonstrations and the motives that he brought to his method o...

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Pour citer cet article

Référence électronique

Iris Loeb et Stefan Roski, « The Transition from Formula-Centered to Concept-Centered Analysis Bolzano's Purely Analytic Proof », Philosophia Scientiæ [En ligne], 18-1 | 2014, mis en ligne le 15 mars 2017, consulté le 25 novembre 2017. URL : http://philosophiascientiae.revues.org/916 ; DOI : 10.4000/philosophiascientiae.916

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Auteurs

Iris Loeb

Department of Mathematics, VU University Amsterdam (The Netherlands)

Stefan Roski

Institut für Philosophie, Universität Duisburg-Essen (Germany)

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Droits d’auteur

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