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Facets and Levels of Mathematical Abstraction

Hourya Benis Sinaceur
p. 81-112

Résumés

L'abstraction mathématique consiste en la considération et la ma­nipulation d'opérations, règles et concepts indépendamment du contenu dont les nantissent des applications particulières et du rapport qu'ils peuvent avoir avec les phénomènes et les circonstances du monde réel. L'abstraction ma­thématique emprunte diverses voies. Le terme « abstraction » ne désigne pas une procédure unique, mais un processus général où s'entrecroisent divers pro­cédés employés successivement ou simultanément. En particulier, l'abstrac­tion mathématique ne se réduit pas à la subsomption logique. Je vais étudier comparativement en quels termes les philosophes expliquent l'abstraction et par quels moyens les mathématiciens la mettent en œuvre. Je voudrais par là mettre en lumière les principaux processus de pensée en jeu et illustrer par des exemples divers niveaux d'intrication de techniques mathématiques récurrentes, qui incluent notamment la méthode axiomatique, les principes d'invariance, les relations d'équivalence et les correspondances fonctionnelles.

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Plan

Introduction
1 Philosophical background
1.1 Abstraction and concept-formation
1.2 Concepts
1.3 Abstract and concrete concepts
2 Mathematical practice
3 Descriptive analysis of the fundamental thinking processes underlying the main ways of getting abstraction
3.1 Abstraction and axiomatization
4 Various samples of mathematical abstraction processes
5 Conclusion

Aperçu du début du texte

Introduction

Mathematical abstraction is the process of considering and manipulating op­erations, rules, methods and concepts divested from their reference to real world phenomena and circumstances, and also deprived from the content con­nected to particular applications. So the abstract concept of number does not come down to any real aggregate (of sheep, beans, pencils, etc.) nor to any conceived collection (of geometrical points, numerical elements, unspecified el­ements, etc.) and it includes sets of numbers with rules of calculation different from the usual ones, such as the rules for quaternions, octonions, etc.

Actually, in mathematics, one encounters from the very beginning not one but several abstraction processes, which constitute specific and perma­nent ways of developing the mathematical core. In modern times, especially from the 19th century onwards, abstraction flourishes, and various processes are more systematically piled up, concatenated, and blended for producing pro...

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Pour citer cet article

Référence électronique

Hourya Benis Sinaceur, « Facets and Levels of Mathematical Abstraction », Philosophia Scientiæ [En ligne], 18-1 | 2014, mis en ligne le 15 mars 2017, consulté le 27 mars 2017. URL : http://philosophiascientiae.revues.org/914 ; DOI : 10.4000/philosophiascientiae.914

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Auteur

Hourya Benis Sinaceur

IHPST-CNRS-Université Paris 1-ENS Ulm (France)

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Droits d’auteur

Tous droits réservés

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