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Foundation of Mathematics between Theory and Practice

Giorgio Venturi
p. 45—80

Résumés

Je me propose dans cet article de traiter de la théorie des ensembles, non seulement comme fondement des mathématiques au sens traditionnel, mais aussi comme fondement de la pratique mathématique. De ce point de vue, je marque une distinction entre un fondement ensembliste standard, d'une nature ontologique, grâce auquel tout objet mathématique peut trouver un succédané ensembliste, et un fondement pratique, qui vise à expliquer les phénomènes mathématiques, en donnant des conditions nécessaires et suffisantes pour prouver les propositions mathématiques. Je présente quelques exemples de cette utilisation des méthodes ensemblistes, dans le contexte des principales théories mathématiques, en termes de preuves d'indépendance et de résultats d'équiconsistance, et je discute quelques résultats récents qui montrent comment il est possible de « compléter » les structures H(1) et H(2). Ensuite, je montre que les fondements ensemblistes de mathématiques peuvent être utiles aussi pour la philosophie de la pratique mathématique, car certains axiomes de la théorie des ensembles peuvent être considérés comme des explications de phénomènes mathématiques. Dans la dernière partie de mon article, je propose une distinction plus générale entre deux différentes espèces de fondement : pratique et théorique, en tirant quelques exemples de l'histoire des fondements des mathématiques.

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Plan

1 Set theoretical foundation as unity
1.1 Hilbertian origins
1.2 Practical reasons
1.3 Example of sufficient conditions
1.4 Examples of equivalence and equiconsistent results
1.5 Necessary and sufficient conditions
2 Axioms as explanations
2.1 Applying Kitcker's account?
2.2 Kitcher's problem for mathematical explanation
2.3 Towards a more general distinction
3 Two different foundational ideas
3.1 Theoretical foundation
3.2 Practical foundation
3.2.1 Single theory vs. mathematics

Aperçu du début du texte

A wonderful aspect of mathematical work is the possibility to create useful interactions between apparently different areas. This aspect, that we may call the unity of mathematics, is a distinctive aspect of modern mathematics. The tools and the ideas that come to light thanks to this global point of view are so powerful that they allow to overcome the Aristotelian caveat about the dif­ferent genus, for example, between geometry and arithmetic. Moreover, the birth of modern mathematical logic and the need to keep together a very vast and disparate development of mathematics were among the reasons that al­lowed and pushed toward the foundational programs of the beginning of the last century. Nevertheless history frustrated these foundational efforts. Not only contradictions were discovered, but also a deep and unsolved tension be­tween syntax and semantics: two very new branches of mathematical enquire. We can say that all foundational programs did not succeed in the sense they were ...

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Pour citer cet article

Référence électronique

Giorgio Venturi, « Foundation of Mathematics between Theory and Practice », Philosophia Scientiæ [En ligne], 18-1 | 2014, mis en ligne le 15 mars 2017, consulté le 25 novembre 2017. URL : http://philosophiascientiae.revues.org/912 ; DOI : 10.4000/philosophiascientiae.912

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Auteur

Giorgio Venturi

Scuola Normale Superiore di Pisa (Italy) Université Paris Diderot (France)

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Droits d’auteur

Tous droits réservés

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