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Mathematical Rigor, Proof Gap and the Validity of Mathematical Inference

Yacin Hamami
p. 7-26

Résumés

Mathématiciens et philosophes définissent communément la rigueur mathématique de la manière suivante : une preuve mathématique est rigoureuse dès lors qu'elle ne présente aucun « trou » dans le raisonnement mathématique qui la compose. Toute approche philosophique de la rigueur mathématique formulée suivant cette conception se doit de définir la notion de « trou ». Cependant, une telle notion ne peut être pensée que relativement à une conception du raisonnement mathématique valide, i.e., de la validité de l'inférenee mathématique. Un « trou » dans une preuve mathématique peut ainsi être conçu comme un échec dans la production d'une inférence mathématique valide. L'objectif de cet article est d'évaluer deux conceptions de la validité de l'inférence mathématique par rapport à leur capacité à fournir une explication plausible des notions intuitives de « trou » présentes dans la pratique mathématique. La première conception est issue des standards contemporains de la rigueur mathématique : une inférence mathématique est valide si, et seulement si, sa conclusion peut être dérivée formellement à partir de ses prémisses. Nous montrerons que cette conception ne peut fournir une explication plausible des notions intuitives de « trou » dans les preuves mathématiques. La seconde conception est issue d'une nouvelle approche de la validité de l'inférence proposée par Prawitz : une inférence est valide si, et seulement si, elle consiste en une opération produisant une justification pour sa conclusion à partir de justifications pour ses prémisses. Nous adapterons tout d'abord cette conception à l'inférence mathématique et nous montrerons alors qu'elle est en mesure d'accommoder différentes notions intuitives de « trou » à travers différents types d'échecs dans la production d'inférences mathématiques valides. Nous conclurons en soulignant l'intérêt de cette conception pour la philosophie de la pratique mathématique, et nous relèverons un certain nombre de défis confrontant le développement d'une telle approche des notions de rigueur mathématique, de « trou » et de validité de l'inférence mathématique.

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Texte intégral en libre accès disponible sur le portail Cairn. Le texte intégral en libre accès sera disponible à cette adresse en janvier 2018.
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Plan

1 Introduction
2 Derivation-based accounts of the validity of mathematical inference
3 Prawitz on the validity of deductive inference
4 A ground-based account of the validity of mathematical inference
5 Intra-praxis gaps
6 Inter-praxis gaps
7 Conclusion

Aperçu du début du texte

1 Introduction

Mathematical rigor is commonly formulated by mathematicians and philoso­phers using the notion of proof gap: a mathematical proof is rigorous when there is no gap in the mathematical reasoning of the proof. Any philosophi­cal approach to mathematical rigor along this line requires then an account of what a proof gap is. However, the notion of proof gap makes sense only rela­tively to a given conception of valid mathematical reasoning. A natural way to state the connection is the following: a proof gap occurs in a mathemati­cal proof whenever there is a failure in valid mathematical reasoning. If one considers valid mathematical reasoning to consist in chains of valid mathemat­ical inferences, the connection becomes: a proof gap occurs in a mathematical proof whenever there is a failure in drawing a valid mathematical inference. In order to characterize the notion of proof gap in this way, one shall then
(i) provide an account of what constitutes a valid mathematical i...

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Pour citer cet article

Référence électronique

Yacin Hamami, « Mathematical Rigor, Proof Gap and the Validity of Mathematical Inference », Philosophia Scientiæ [En ligne], 18-1 | 2014, mis en ligne le 15 mars 2017, consulté le 24 juillet 2017. URL : http://philosophiascientiae.revues.org/908 ; DOI : 10.4000/philosophiascientiae.908

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Auteur

Yacin Hamami

Centre for Logic and Philosophy of Science Vrije Universiteit Brussel (Belgium)

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Droits d’auteur

Tous droits réservés

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